Geometrias Riemannianas Especiais

(da candidatura)
A geometria riemanniana está no cerne da matemática mais avançada, tendo fortes raízes em todos os seus campos. "Geometrias Riemannianas Especiais" designa um ramo que é objecto de grande interesse na actualidade e que mantém grande interacção com a Física. Este ramo alberga todas as questões relacionadas com estruturas riemannianas (métrica definida positiva) caracterizadas por algum subgrupo do grupo de Lie ortogonal especial SO(m) ou do grupo Spin (m), onde m é a dimensão de uma dada variedade riemanniana.

Usamos aquelas palavras no título com a ambição de reunir a conjugação de três linhas de pesquisa muito activa, perseguidas igualmente em centros de excelência mundial em geometria e às quais, acreditamos, podemos dar um contributo muito forte. As linhas são: geometria com torção, geometria calibrada e (moduli de) fibrados-instantões.

Nos desafios a que propomos dar nova amplitude e visão, estaremos, em primeiro lugar, continuando os esforços bem sucedidos de um projecto anterior, com dois dos investigadores. Em segundo lugar, estaremos a cooperar para alguns avanços importantes, contando com o contributo de uma recente Doutorada em geometria com torção e moduli associados.

Os investigadores Isabel Salavessa e Rui Albuquerque já trabalharam em conjunto no projecto FCT "Geometria da holonomia especial" (FCT/POCI/60671/2004), que foi considerado como "muito bom" pela comissão de avaliação e por isso financiado apenas em 50% do seu orçamento inicial. Eles publicaram vários trabalhos, superando as metas do seu projecto. A cooperação internacional foi devidamente cumprida, de algum modo levando-nos ao encontro do terceiro e mais jovem membro da equipe do projecto actual.

Ana Cristina Ferreira foi recentemente graduada com o título de PhD pela Universidade de Oxford, no Reino Unido. É uma matemática promissora, uma ex-aluna de mestrado da Universidade do Porto, onde desenvolveu o seu interesse em geometria com o professor Peter Gothen. Em Oxford, foi aluna do aclamado geómetra Nigel Hitchin. O seu estudo incidiu essencialmente sobre geometria com torção, mas também sobre geometria spin e operadores de Dirac, que são clássicos. Trabalhou também na geometria de 4-variedades e interessou-se pela nova teoria das geometrias generalizadas.

Rui Albuquerque encontrou uma nova geometria, que agora apelida de geometria do espaço de "gwistor". É uma construção notável, geral, de uma estrutura G2 (o grupo de Lie) no fibrado de esferas unitárias tangentes de uma variedade de Riemann de dimensão 4. Os problemas que se levantam realmente sobejam para um investigador desejoso de ir mais além nos seus estudos. Mesmo se contarmos com a sua actual aluna de doutoramento M. I. Magalhães Colaço.

Isabel Salavessa é uma Investigadora Principal em geometria diferencial do CFIF-IST, Lisboa, que trará input da geometria e da análise de subvariedades calibradas em estruturas especiais.
Os três investigadores já se reuniram todos em diversos lugares e ocasiões. Tal foi o caso da assistência a conferências, como o encontro bianual em Kühlungsborn, organizado pelo grupo de Humboldt das geometrias Riemannianas especiais, ou os International Fall Workshops em Geometria e Física na Península Ibérica.

“Geometrias riemannianas especiais” no nosso projecto é apenas um nome para as três linhas acima, a serem desenvolvidas por todos. Não queremos que se confunda com o domínio geral das geometrias de Riemann que são geralmente compreendidas sob o mesmo nome. Ao invés, escolhemos este título geral a fim de abraçar um largo espectro de desenvolvimento de novas ideias. (Nota: AMS MSC2010 “Special Riemannian manifolds”=53C25.)  [...]