Álgebra e combinatória

Cód.: MAT14989L

6 ECTS

Duração: 15 semanas/156 horas

Área Científica: Matemática

Língua(s) de lecionação: Português

Língua(s) de apoio tutorial: Português

Regime de Frequência: Presencial

Objetivos de Desenvolvimento Sustentável

Educação de qualidade - Assegurar a educação inclusiva, e equitativa e de qualidade, e promover oportunidades de aprendizagem ao longo da vida para todos.

Objetivos de Aprendizagem

1. Capacidade de utilizar os conjuntos e as suas operações de modo flexível, corrente, em ambiente abstrato ou concreto.

2. Capacidade de utilizar em diferentes contextos as noções de relação de ordem e de relação de equivalência.

3. Compreender princípios de contagem no contexto do cálculo de cardinais de conjuntos.

4. Capacidade de definir, utilizar e compreender as propriedades abstratas de operações definidas em conjuntos.

5. Capacidade de formular e resolver problemas no âmbito e/ou com técnicas da álgebra e combinatória

6. Capacidade de relacionar conceitos de outras áreas da matemática e de outras disciplinas com conceitos de álgebra e combinatória.

Conteúdos Programáticos

A1 Conjuntos. Operações e relações de ordem. Diagramas de Hasse. Comparar com relação divide. Conjunto das partes. Combinações.
A2 Relações de equivalência. Classificações de palavras em português. Classificação em biologia.
A3 Princípio de inclusão exclusão.
B1 Funções. Propriedades: injetiva, sobrejetiva, invertível. Composição de funções.
B2 Contar funções em conjuntos finitos. Arranjos, permutações.
C1 Operações definidas por tabelas. Associatividade, elemento neutro, elementos invertíveis. Inversos. Comutatividade. Comparar com aritmética modular.
C2 Estruturas algébricas concretas: naturais, inteiros, racionais, complexos. Conjuntos de funções com a composição.
C3 Estruturas algébricas concretas: transformações geométricas, translações, reflexões, rotações.
D1 Grupos de permutações. Conjuntos invariantes e órbitas.
D2 Simetrias de polígonos e poliedros regulares.
E1 Grafos. Caminhos em grafos. Contagens. Exemplo das ruas de uma cidade (Évora).

Métodos de Ensino

Aulas no formato teórico-práticas, expositivas de conteúdos, articuladas com a apresentação de exemplos e realização de exercícios. Os momentos de exposição são alternados com apresentação de aplicações e discussão sobre a resolução de problemas associados. As aplicações podem ser propostas e apresentadas pelos alunos e podem ser relacionadas com a álgebra, a combinatória ou com outras áreas disciplinares. Momentos de realização de exercícios em grupos e individualmente. Chamadas ao quadro para os alunos exporem conceitos e resolução de problemas aos colegas. Sugere-se o uso na resolução de certos problemas de software de uso livre. Python, R, Excel ou outro a decidir pelo docente. Existem ainda alguns tópicos de matemática contemporânea, nomeadamente relacionados com redes que permitem expor os alunos a atividades de iniciação à investigação. Deste modo têm-se em consideração as recomendações e linhas orientadores do modelo pedagógico da universidade de Évora.

Avaliação

A avaliação pressupõe um regime de avaliação continuo ou um regime de avaliação por exame final.

A avaliação contínua será constituída por diversos momentos curtos - pergunta em aula, sendo estes momentos avaliativos encarados simultaneamente como de avaliação e de prática/aprendizagem. Poderão ser realizados todas as semanas ou com um calendário a acertar pelo docente no início do ano letivo. Estes momentos devem ser mais de 5 ao longo do semestre (1/3 do número de semanas total).
Além das perguntas em aula será realizado um teste final escrito.
Cada pergunta em aula terá uma cotação fixa (e.g.2 valores). A nota final das perguntas em aula é obtido somando as notas parciais de cada pergunta e normalizada a 20 valores. O peso das perguntas em aula será 30% da nota final. O teste final terá peso de 70% da nota final.

Bibliografia

Seymour Lipschutz, Marc Lipson, Matemática discreta, 3ed, Schaum, 2013
K. Devlin, (2002). Matemática, a ciência dos padrões, Biblioteca Científica, Porto Editora
Norman Biggs, Discrete Mathematics, Oxford Science Publications. 1993
Brian Bolt, Actividades matemáticas, Gradiva 1991.