Aritmética

Cód.: MAT14987L

6 ECTS

Duração: 15 semanas/156 horas

Área Científica: Matemática

Língua(s) de lecionação: Português

Língua(s) de apoio tutorial: Português

Regime de Frequência: Presencial

Objetivos de Desenvolvimento Sustentável

Educação de qualidade - Assegurar a educação inclusiva, e equitativa e de qualidade, e promover oportunidades de aprendizagem ao longo da vida para todos.

Objetivos de Aprendizagem

1.Distinguir os diversos tipos de números através de definições informais e propriedades: naturais, inteiros, racionais, reais, complexos, assim como as operações relacionadas.

2.Compreender a distinção de número e de numeral. Utilizar as noções de bases numéricas e de dízimas na representação de números. Ser capaz de relacionar aspetos da aritmética com aspetos geométricos e de noções de ordenação.

3.Dominar os conceitos de fator primo, de divisibilidade, de estrutura de ordem parcial no conjunto de divisores, de máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum.

4.Abstrair as noções da aritmética e compreender a aritmética modular mod n. Compreender que diferentes estruturas aritméticas surgem de diferentes naturais n.

5.Adquirir capacidades de formular e resolver problemas no âmbito e/ou com técnicas da aritmética.

6.Relacionar conceitos de outras áreas da matemática e de outras disciplinas com conceitos de aritmética.

Conteúdos Programáticos

A1 Números naturais. Algoritmo da divisão. Bases numéricas. Números inteiros. Frações.

A2 Números racionais. Árvore de Farey. Ordenação.

A3 Números irracionais. Números reais.

A4 Relação dos números com a geometria na reta e no plano.

B1 Naturais. Números primos. Operações. Divisores. Diagramas de Hasse para divisores.

B2 Mdc, mmc. Algoritmo de Euclides.

B3 Exemplos de aplicações: rodas dentadas, outros.

C1 Aritmética modular. Tabelas de multiplicação. Propriedades dependentes da factorização de n.

C2 Problemas e aplicações: Critérios de divisibilidade. Redução modular.

C3 Exemplos de aplicações: cifra de César, cifra afim. Relacionar com a escrita do português. Frequência de ocorrência de letras. Dígitos de controlo em comunicações.

D1 Sucessões de naturais. Propriedades aritméticas. Problemas de contagens Fibonacci e outras. Enciclopédia das sucessões--estrutura viva da matemática contemporânea, relacionando-a com tópicos de investigação em curso.

Métodos de Ensino

Aulas no formato teórico-práticas, expositivas de conteúdos, articuladas com a apresentação de exemplos e realização de exercícios. Os momentos de exposição são alternados com apresentação de aplicações e discussão sobre a resolução de problemas associados. As aplicações podem ser propostas e apresentadas pelos alunos e podem ser relacionadas com a aritmética ou com outras áreas disciplinares. Momentos de realização de exercícios em grupos e individualmente. Chamadas ao quadro para os alunos exporem conceitos e resolução de problemas aos colegas. Pressupõe-se o uso na resolução de certos problemas não em todos, de software de uso livre. Python, R, Excel ou outro a decidir pelo docente. Existem ainda tópicos escolhidos que ilustram e permitem expor os alunos a atividades de iniciação à investigação.
Deste modo têm-se em consideração as recomendações e linhas orientadores do modelo pedagógico da universidade de Évora.

Avaliação

A avaliação pressupõe um regime de avaliação contínuo ou um regime de avaliação por exame final.

A avaliação contínua será constituída por diversos momentos curtos - pergunta em aula, sendo estes momentos avaliativos encarados simultaneamente como de avaliação e de prática/aprendizagem. Poderão ser realizados todas as semanas ou com um calendário a acertar pelo docente no início do ano letivo. Estes momentos devem ser mais de 5 ao longo do semestre (1/3 do número de semanas total).
Além das perguntas em aula será realizado um teste final escrito.
Cada pergunta em aula terá uma cotação fixa (e.g.2 valores). A nota final das perguntas em aula é obtido somando as notas parciais de cada pergunta e normalizada a 20 valores. O peso das perguntas em aula será 30% da nota final. O teste final terá peso de 70% da nota final.

Bibliografia

Seymour Lipschutz, Marc Lipson, Matemática discreta, 3ed, Schaum, 2013
John Conway, Richard Guy, O livro dos números, Gradiva, 1996
Norman Biggs, Discrete Mathematics, Oxford Science Publications. 1993
Joan Gómez, Matemáticos, espiões e piratas informáticos, RBA 2010
Brian Bolt, Actividades matemáticas, Gradiva 1991.