Equações Diferenciais Ordinárias

Cód.: MAT00913L

6 ECTS

Duração: 15 semanas/156 horas

Área Científica: Matemática

Língua(s) de lecionação: Português

Língua(s) de apoio tutorial: Português, Inglês

Regime de Frequência: Presencial

Apresentação

Nesta disciplina, pretende-se que o aluno resolva explicitamente equações diferenciais ordinárias, lineares e não lineares, realize estudos qualitativos do comportamento da solução,conheça técnicas que garantam a existência, unicidade, estabilidade da solução e construa e analise modelos matemáticos

Objetivos de Desenvolvimento Sustentável

Educação de qualidade - Assegurar a educação inclusiva, e equitativa e de qualidade, e promover oportunidades de aprendizagem ao longo da vida para todos.

Objetivos de Aprendizagem

- Adquirir técnicas de resolução explícita de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem, no caso linear e não linear, bem como de ordem superior.
- Realizar estudos qualitativos do comportamento da solução em equações escalares e em sistemas planares.
- Conhecer técnicas que garantam a existência, a unicidade de solução, a dependência contínua dos dados iniciais e a estabilidade de solução.
- Construir e analisar modelos matemáticos.

Conteúdos Programáticos

1. Equações Diferenciais Ordinárias. Equações de 1ª ordem e lineares de 2ª ordem. Solução particular da equação não homogénea. Equação homogénea com coeficientes constantes.
2. Existência e Unicidade de Solução. Desigualdades e convergências. Método das aproximações sucessivas de Picard. Prolongamento de soluções. Teoremas de Unicidade. Inequações diferenciais e soluções extremais. Dependência contínua dos dados iniciais.
3. Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias. Existência e unicidade de solução Sistemas lineares. Sistemas com coeficientes constantes. Comportamento assimptótico das soluções.
4. Estabilidade de Soluções. Estabilidade de sistemas quase-lineares. Sistemas autónomos planares. Ciclos limite e soluções periódicas. Método de Lyapunov para sistemas autónomos e não autónomos. Equações oscilatórias.
5. Problemas lineares com valores na fronteira. Funções de Green. Princípios de máximo. Problemas de Sturm-Liouville. Série de funções próprias. Problemas não lineares.

Métodos de Ensino

Os alunos terão à sua disposição no Moodle todo o material utilizado nas aulas, que são compostas por uma apresentação e discussão inicial dos temas a estudar, seguido de aplicações práticas ilustrativas.
A avaliação pode ser feita por dois processos, cada um deles realizado com possibilidade de consulta a material produzido pelo próprio:
1.Avaliação por Exame: o aluno será aprovado se, num dos exames a realizar em época própria, após o período letivo, obtiver classificação igual ou superior a 10 valores.
2.Avaliação Contínua
Serão realizadas duas frequências, com incidência numa parte da matéria leccionada.
A classificação desta componente será a média das classificações obtidas.
O aluno optará pela Avaliação Contínua se apresentar à avaliação nas duas frequências e tiver, em cada uma delas, classificação igual ou superior a oito valores.

Avaliação

A avaliação pode ser feita por dois processos, cada um deles realizado com possibilidade de consulta a material produzido pelo próprio:

1. Avaliação por Exame

O aluno será aprovado se, num dos exames a realizar em época própria, após o período lectivo, obtiver classificação igual ou superior a 10 valores.

2.Avaliação Contínua

Serão realizadas duas frequências, com incidência numa parte da matéria leccionada.

A classificação desta componente será a média das classificações obtidas, a qual para o aluno obter aprovoção deverá ser superior a 10 valores.

Observação: o aluno optará pela Avaliação Contínua se se apresentar à avaliação nas duas frequências e tiver, em cada uma delas, classificação igual ou superior a oito valores.

Caso o aluno opte por se submeter aos dois processos de avaliação, a classificação final será a melhor das duas classificações obtidas.

Bibliografia

+ Minhós F. (2009), Equações Diferenciais Ordinárias, 227 pags.
+ Braun, M. (1978) Differential Equations and Their Applications, Springer Verlag.
+ Amann, H. (1990) Ordinary Differential Equation-An Introduction to Nonlinear Analysis. De Gruyter Studies in Mathematics, vol. 13. Walter de Gruyter & C.ª, Berlin.
+ Hirch, M. W., Smale, S. (1974) Differencial Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Acad. Press.
+ Boyce, W.E., DiPrima, R.C (2001) Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, John Wiley & Sons, Inc.
+ Kreyszig, E. (2005) Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons Inc.
+ Agarwal, R.P., O'Regan, D. (2008) An Introduction to Ordinary Differential Equations, Universitext, Springer