2024

Análise Numérica II

Nome: Análise Numérica II
Cód.: MAT14225L
6 ECTS
Duração: 15 semanas/156 horas
Área Científica: Matemática

Língua(s) de lecionação: Português
Língua(s) de apoio tutorial: Português

Apresentação

Pretende-se que o aluno efectue um estudo sistematizado dos métodos numéricos de resolução de equações diferenciais ordinárias (EDOs) assim como um estudo elementar dos métodos numéricos para os problemas com derivadas parciais. Implementação de alguns métodos utilizando software livre.

Objetivos de Desenvolvimento Sustentável

Objetivos de Aprendizagem

Estudo sistematizado dos métodos numéricos de resolução de equações diferenciais ordinárias (EDOs) e introdução elementar aos métodos numéricos para os problemas com derivadas parciais. Implementação de alguns métodos utilizando softwares livres (Python, Jupyter ou SageMath).

Para além da utilização de ferramentas computacionais, pretende-se a aquisição de resultados matemáticos teóricos que permitam desenvolver a capacidade de generalização e abstração que, por sua vez, permitirão formular e resolver problemas de forma eficiente. Com a elaboração de um projeto computacional ao longo do semestre pretende-se que os alunos utilizem modelos matemáticos, adquiram a capacidade de trabalho/aprendizagem autónoma, de escrita clara e rigorosa e sobretudo espírito critico.

Conteúdos Programáticos

1. Equações diferenciais ordinárias: problemas de valor inicial.
- Métodos de passo único. Método de Euler. Erro de truncatura e consistência. Métodos de Taylor. Métodos de Runge-Kutta. Convergência, estabilidade.
- Métodos de passo múltiplo. Métodos de Adams, de Nystrom e de Milne. Consistência, convergência, estabilidade. O processo preditor-corretor.
- Sistemas de equações diferenciais ordinárias. Rigidez (stiffness): breve referência. Equações diferenciais ordinárias de ordem superior.
2. Equações diferenciais ordinárias: problemas de valor de fronteira.
- Método da colocação. Método dos mínimos quadrados.
- Método das diferenças finitas. Erros e convergência.
- Formulação fraca simétrica.
- Introdução ao método dos elementos finitos. Funções de base

Métodos de Ensino

Exposição estruturada, exemplificação com ênfase para as aplicações, resolução de exercícios, trabalho prático no laboratório de informática, um projeto computacional. O projeto computacional é obrigatório e realiza-se individualmente ou em pequenos grupos.

Os alunos podem optar por uma das seguintes modalidades de avaliação:
(1) Avaliação contínua composta por dois testes teóricos durante o período de aulas e um projeto computacional. Classificação final = 0.7*Media das frequências + 0.3*Nota do projeto.
(2) Avaliação pelo exame final e um projeto computacional. Nota final = 0.7*Nota do exame + 0.3*Nota do projeto.

Bibliografia

+ Pina, Heitor (2010). Métodos Numéricos, Escolar Editora.
+ Dormand, J (2017). Numerical methods for differential equations. A computational approach. CRC Press.
+ Larsson, S., Thomée, V.(2003). Partial Differential Equations with Numerical Methods, Texts in Applied Mathematics 45, Springer.
+ Larson, M.G., Bengzon, F. (2013) The Finite Element Method: Theory, Implementation, and Applications, Springer.
+ Kiusalaas J. (2013). Numerical Methods in Engineering with Python 3, Cambridge University Press.