2023
Teoria de Equações Diferenciais Ordinárias
Nome: Teoria de Equações Diferenciais Ordinárias
Cód.: MAT14361M
6 ECTS
Duração: 15 semanas/156 horas
Área Científica:
Matemática
Língua(s) de lecionação: Português
Língua(s) de apoio tutorial: Português, Inglês
Regime de Frequência: Presencial
Apresentação
As equações diferenciais têm um papel relevante na ligação e interação da matemática com outras ciências. Pretende-se que os alunos aprendem os resultados fundamentais da teoria de equações diferenciais ordinárias, lineares e não lineares, incluindo existência e de estabilidade de soluções.
Objetivos de Desenvolvimento Sustentável
Objetivos de Aprendizagem
Pretende-se que os alunos adquiram competências ao nível da fundamentação teórica dos diferentes métodos para equações diferenciais ordinárias, lineares e não lineares, incluindo: problemas de valor inicial e problemas com valores na fronteira; resultados de existência e localização de solução; estabilidade de soluções.
Conteúdos Programáticos
- Problemas de Valor inicial. Desigualdades e convergências. Teoremas de Unicidade. Inequações diferenciais e soluções extremais.
- Problemas com Valores na Fronteira. Problemas lineares com valores na fronteira. Princípios de máximo. Desenvolvimento em séries de funções próprias. Problemas não lineares com valores na fronteira.
- Método das sub- e sobre-soluções. Aplicação do método de sub e sobre-soluções a problemas periódicos. A condição de Nagumo e estimações a priori. Problemas com valores na fronteira separados.
- Estabilidade de soluções. Conceitos preliminares. Estabilidade de sistemas quasi-lineares. Sistemas autónomos planares. Ciclos limite e soluções periódicas. Método de Lyapunov para sistemas autónomos. Método de Lyapunov em sistemas não autónomos.
- Aplicações. Problemas de Lidstone. Problemas funcionais. Problemas impulsivos.
- Problemas com Valores na Fronteira. Problemas lineares com valores na fronteira. Princípios de máximo. Desenvolvimento em séries de funções próprias. Problemas não lineares com valores na fronteira.
- Método das sub- e sobre-soluções. Aplicação do método de sub e sobre-soluções a problemas periódicos. A condição de Nagumo e estimações a priori. Problemas com valores na fronteira separados.
- Estabilidade de soluções. Conceitos preliminares. Estabilidade de sistemas quasi-lineares. Sistemas autónomos planares. Ciclos limite e soluções periódicas. Método de Lyapunov para sistemas autónomos. Método de Lyapunov em sistemas não autónomos.
- Aplicações. Problemas de Lidstone. Problemas funcionais. Problemas impulsivos.
Métodos de Ensino
As aulas são teórico-práticas, recorrendo a uma metodologia baseada na apresentação estruturada dos conteúdos programáticos, apoiada em materiais colocados à disposição dos alunos, e nos exemplos de aplicações a fenómenos da vida real, com possível utilização de software matemático adequado.
Os alunos podem escolher uma das seguintes formas de avaliação:
1) Avaliação continua composta pela apresentação de quatro trabalhos em que sejam abordados temas ou problemas relacionados com o conteúdo programático. A classificação final calcula-se como a média das classificações dos trabalhos.
2) Avaliação por exame, com possibilidade de consulta a material produzido pelo próprio aluno.
Os alunos podem escolher uma das seguintes formas de avaliação:
1) Avaliação continua composta pela apresentação de quatro trabalhos em que sejam abordados temas ou problemas relacionados com o conteúdo programático. A classificação final calcula-se como a média das classificações dos trabalhos.
2) Avaliação por exame, com possibilidade de consulta a material produzido pelo próprio aluno.
Bibliografia
- Feliz Minhós, (2009). Equações Diferenciais Ordinárias, 227 pags.
- C. Coster, P. Habets, (2006). Two-Point Boundary Value Problems: Lower and Upper Solutions, Elsevier.
- J. Fialho, F. Minhós, (2014). High order Boundary Value Problems: Existence, localization and multiplicity results, Mathematics Research Developments Series, Nova Science Publishers, Inc.
- R.P.Agarwal, D. O'Regan, (2008). An Introduction to Ordinary Differential Equations, Universitext, Springer.
- F. Minhós, R. de Sousa, (2021). Nonlinear higher order differential and integral coupled systems: Impulsive and Integral Equations on Bounded and Unbounded Domains, Trends in Abstract and Applied Analysis, Vol. 10, World Scientific, https://doi.org/10.1142/11961, 242 p.
- C. Coster, P. Habets, (2006). Two-Point Boundary Value Problems: Lower and Upper Solutions, Elsevier.
- J. Fialho, F. Minhós, (2014). High order Boundary Value Problems: Existence, localization and multiplicity results, Mathematics Research Developments Series, Nova Science Publishers, Inc.
- R.P.Agarwal, D. O'Regan, (2008). An Introduction to Ordinary Differential Equations, Universitext, Springer.
- F. Minhós, R. de Sousa, (2021). Nonlinear higher order differential and integral coupled systems: Impulsive and Integral Equations on Bounded and Unbounded Domains, Trends in Abstract and Applied Analysis, Vol. 10, World Scientific, https://doi.org/10.1142/11961, 242 p.
Equipa Docente
- Feliz Manuel Barrão Minhós [responsável]
