2023
Equações Diferenciais Ordinárias
Nome: Equações Diferenciais Ordinárias
Cód.: MAT00913L
6 ECTS
Duração: 15 semanas/156 horas
Área Científica:
Matemática
Língua(s) de lecionação: Português
Língua(s) de apoio tutorial: Português, Inglês
Regime de Frequência: Presencial
Apresentação
Nesta disciplina, pretende-se que o aluno resolva explicitamente equações diferenciais ordinárias, lineares e não lineares, realize estudos qualitativos do comportamento da solução,conheça técnicas que garantam a existência, unicidade, estabilidade da solução e construa e analise modelos matemáticos
Objetivos de Desenvolvimento Sustentável
Objetivos de Aprendizagem
- Adquirir técnicas de resolução explícita de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem, no caso linear e não linear, bem como de ordem superior.
- Realizar estudos qualitativos do comportamento da solução em equações escalares e em sistemas planares.
- Conhecer técnicas que garantam a existência, a unicidade de solução, a dependência contínua dos dados iniciais e a estabilidade de solução.
- Construir e analisar modelos matemáticos.
- Realizar estudos qualitativos do comportamento da solução em equações escalares e em sistemas planares.
- Conhecer técnicas que garantam a existência, a unicidade de solução, a dependência contínua dos dados iniciais e a estabilidade de solução.
- Construir e analisar modelos matemáticos.
Conteúdos Programáticos
1. Equações Diferenciais Ordinárias. Equações de 1ª ordem e lineares de 2ª ordem. Solução particular da equação não homogénea. Equação homogénea com coeficientes constantes.
2. Existência e Unicidade de Solução. Desigualdades e convergências. Método das aproximações sucessivas de Picard. Prolongamento de soluções. Teoremas de Unicidade. Inequações diferenciais e soluções extremais. Dependência contínua dos dados iniciais.
3. Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias. Existência e unicidade de solução Sistemas lineares. Sistemas com coeficientes constantes. Comportamento assimptótico das soluções.
4. Estabilidade de Soluções. Estabilidade de sistemas quase-lineares. Sistemas autónomos planares. Ciclos limite e soluções periódicas. Método de Lyapunov para sistemas autónomos e não autónomos. Equações oscilatórias.
5. Problemas lineares com valores na fronteira. Funções de Green. Princípios de máximo. Problemas de Sturm-Liouville. Série de funções próprias. Problemas não lineares.
2. Existência e Unicidade de Solução. Desigualdades e convergências. Método das aproximações sucessivas de Picard. Prolongamento de soluções. Teoremas de Unicidade. Inequações diferenciais e soluções extremais. Dependência contínua dos dados iniciais.
3. Sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias. Existência e unicidade de solução Sistemas lineares. Sistemas com coeficientes constantes. Comportamento assimptótico das soluções.
4. Estabilidade de Soluções. Estabilidade de sistemas quase-lineares. Sistemas autónomos planares. Ciclos limite e soluções periódicas. Método de Lyapunov para sistemas autónomos e não autónomos. Equações oscilatórias.
5. Problemas lineares com valores na fronteira. Funções de Green. Princípios de máximo. Problemas de Sturm-Liouville. Série de funções próprias. Problemas não lineares.
Métodos de Ensino
Os alunos terão à sua disposição no Moodle todo o material utilizado nas aulas, que são compostas por uma apresentação e discussão inicial dos temas a estudar, seguido de aplicações práticas ilustrativas.
A avaliação pode ser feita por dois processos, cada um deles realizado com possibilidade de consulta a material produzido pelo próprio:
1.Avaliação por Exame: o aluno será aprovado se, num dos exames a realizar em época própria, após o período letivo, obtiver classificação igual ou superior a 10 valores.
2.Avaliação Contínua
Serão realizadas duas frequências, com incidência numa parte da matéria leccionada.
A classificação desta componente será a média das classificações obtidas.
O aluno optará pela Avaliação Contínua se apresentar à avaliação nas duas frequências e tiver, em cada uma delas, classificação igual ou superior a oito valores.
A avaliação pode ser feita por dois processos, cada um deles realizado com possibilidade de consulta a material produzido pelo próprio:
1.Avaliação por Exame: o aluno será aprovado se, num dos exames a realizar em época própria, após o período letivo, obtiver classificação igual ou superior a 10 valores.
2.Avaliação Contínua
Serão realizadas duas frequências, com incidência numa parte da matéria leccionada.
A classificação desta componente será a média das classificações obtidas.
O aluno optará pela Avaliação Contínua se apresentar à avaliação nas duas frequências e tiver, em cada uma delas, classificação igual ou superior a oito valores.
Avaliação
A avaliação pode ser feita por dois processos, cada um deles realizado com possibilidade de consulta a material produzido pelo próprio:
1. Avaliação por Exame
O aluno será aprovado se, num dos exames a realizar em época própria, após o período lectivo, obtiver classificação igual ou superior a 10 valores.
2.Avaliação Contínua
Serão realizadas duas frequências, com incidência numa parte da matéria leccionada.
A classificação desta componente será a média das classificações obtidas, a qual para o aluno obter aprovoção deverá ser superior a 10 valores.
Observação: o aluno optará pela Avaliação Contínua se se apresentar à avaliação nas duas frequências e tiver, em cada uma delas, classificação igual ou superior a oito valores.
Caso o aluno opte por se submeter aos dois processos de avaliação, a classificação final será a melhor das duas classificações obtidas.
Bibliografia
+ Minhós F. (2009), Equações Diferenciais Ordinárias, 227 pags.
+ Braun, M. (1978) Differential Equations and Their Applications, Springer Verlag.
+ Amann, H. (1990) Ordinary Differential Equation-An Introduction to Nonlinear Analysis. De Gruyter Studies in Mathematics, vol. 13. Walter de Gruyter & C.ª, Berlin.
+ Hirch, M. W., Smale, S. (1974) Differencial Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Acad. Press.
+ Boyce, W.E., DiPrima, R.C (2001) Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, John Wiley & Sons, Inc.
+ Kreyszig, E. (2005) Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons Inc.
+ Agarwal, R.P., O'Regan, D. (2008) An Introduction to Ordinary Differential Equations, Universitext, Springer
+ Braun, M. (1978) Differential Equations and Their Applications, Springer Verlag.
+ Amann, H. (1990) Ordinary Differential Equation-An Introduction to Nonlinear Analysis. De Gruyter Studies in Mathematics, vol. 13. Walter de Gruyter & C.ª, Berlin.
+ Hirch, M. W., Smale, S. (1974) Differencial Equations, Dynamical Systems and Linear Algebra, Acad. Press.
+ Boyce, W.E., DiPrima, R.C (2001) Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, John Wiley & Sons, Inc.
+ Kreyszig, E. (2005) Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons Inc.
+ Agarwal, R.P., O'Regan, D. (2008) An Introduction to Ordinary Differential Equations, Universitext, Springer
Equipa Docente
- Ana Margarida da Silva Afonso Rodrigues [responsável]
