Análise Numérica II

Cód.: MAT14225L

6 ECTS

Duração: 15 semanas/156 horas

Área Científica: Matemática

Língua(s) de lecionação: Português

Língua(s) de apoio tutorial: Português

Regime de Frequência: Presencial

Apresentação

Pretende-se que o aluno efectue um estudo sistematizado dos métodos numéricos de resolução de equações diferenciais ordinárias (EDOs) assim como um estudo elementar dos métodos numéricos para os problemas com derivadas parciais. Implementação de alguns métodos utilizando software livre.

Objetivos de Desenvolvimento Sustentável

4. Educação de qualidade - Assegurar a educação inclusiva, e equitativa e de qualidade, e promover oportunidades de aprendizagem ao longo da vida para todos.

Objetivos de Aprendizagem

Estudo sistematizado dos métodos numéricos de resolução de equações diferenciais ordinárias (EDOs) e introdução elementar aos métodos numéricos para os problemas com derivadas parciais. Implementação de alguns métodos utilizando softwares livres (Python, Jupyter ou SageMath).

Para além da utilização de ferramentas computacionais, pretende-se a aquisição de resultados matemáticos teóricos que permitam desenvolver a capacidade de generalização e abstração que, por sua vez, permitirão formular e resolver problemas de forma eficiente. Com a elaboração de um projeto computacional ao longo do semestre pretende-se que os alunos utilizem modelos matemáticos, adquiram a capacidade de trabalho/aprendizagem autónoma, de escrita clara e rigorosa e sobretudo espírito critico.

Conteúdos Programáticos

1. Equações diferenciais ordinárias: problemas de valor inicial.
- Métodos de passo único. Método de Euler. Erro de truncatura e consistência. Métodos de Taylor. Métodos de Runge-Kutta. Convergência, estabilidade.
- Métodos de passo múltiplo. Métodos de Adams, de Nystrom e de Milne. Consistência, convergência, estabilidade. O processo preditor-corretor.
- Sistemas de equações diferenciais ordinárias. Rigidez (stiffness): breve referência. Equações diferenciais ordinárias de ordem superior.
2. Equações diferenciais ordinárias: problemas de valor de fronteira.
- Método da colocação. Método dos mínimos quadrados.
- Método das diferenças finitas. Erros e convergência.
- Formulação fraca simétrica.
- Introdução ao método dos elementos finitos. Funções de base

Métodos de Ensino

Exposição estruturada, exemplificação com ênfase para as aplicações, resolução de exercícios, trabalho prático no laboratório de informática, um projeto computacional. O projeto computacional é obrigatório e realiza-se individualmente ou em pequenos grupos.

Avaliação

Avaliação contínua (preferencial)
2 Testes, 1h 30m (nota mínima da média 7,5 valores) :
30 min parte escrita (nota mínima 2,5 valores)+
+ 1h laboratorial (nota mínima 5 valores)
Fichas laboratoriais entregues semanalmente (nota mínima da média 7 valores)

Condições:>=7,5 valores em cada teste (>=2,5 +>= 5) +
>=7 valores de média nas fichas

Nota Final = 0,7 * média dos testes + 0,3 * média das fichas

Exame (2h30?)
45' parte escrita (nota mínima 2,5 valores)+
1:45h laboratorial (nota mínima 5 valores) (nota mínima total 7,5 valores)
Fichas laboratoriais entregues semanalmente (nota mínima da média 7 valores)

Condições:
>=7 valores mínimo total no exame (>=2,5 valores escrita +>=5 valores lab.)
+>=7 valores nas fichas Lab

Nota Final = 0,7 * exame + 0,3 * média das fichas

Recurso / épocas Especiais
Exame (nota mínima total 7,5 valores):
45 min parte escrita (nota mínima 2,5 valores)+
1:45h laboratorial (nota mínima 5 valores)
Mini-projeto laboratorial (se nota mínima for atingida no exame)

Condições:
>=7 valores mínimo total no exame (>=2,5 valores escrita +>=5 valores lab.) +
+>=7 valores mini-projeto

Nota Final = 0,7 * exame + 0,3 * mini-projeto

Para ser aprovado na UC, o aluno deve obter nota final ? 10 valores.

Observação Sempre que houver suspeita de utilização de recursos não autorizados, os alunos poderão ser chamados a uma prova oral perante dois elementos do júri da disciplina.

Bibliografia

+ Pina, Heitor (2010). Métodos Numéricos, Escolar Editora.
+ Dormand, J (2017). Numerical methods for differential equations. A computational approach. CRC Press.
+ Larsson, S., Thomée, V.(2003). Partial Differential Equations with Numerical Methods, Texts in Applied Mathematics 45, Springer.
+ Larson, M.G., Bengzon, F. (2013) The Finite Element Method: Theory, Implementation, and Applications, Springer.
+ Kiusalaas J. (2013). Numerical Methods in Engineering with Python 3, Cambridge University Press.