Geometria Riemanniana

Cód.: MAT14349M

6 ECTS

Duração: 15 semanas/156 horas

Área Científica: Matemática

Língua(s) de lecionação: Português

Língua(s) de apoio tutorial: Português, Inglês

Regime de Frequência: Presencial

Apresentação

O objetivo desta UC são a compreensão muito completa pelo aluno da noção de variedade, das variedades riemannianas e suas propriedades, bem como da noção de fibrado tangente, conexão afim, torsão e curvatura.

Objetivos de Desenvolvimento Sustentável

Educação de qualidade - Assegurar a educação inclusiva, e equitativa e de qualidade, e promover oportunidades de aprendizagem ao longo da vida para todos.

Objetivos de Aprendizagem

Os objetivos desta UC são a compreensão muito completa pelo aluno da noção de variedade, das variedades riemannianas e suas propriedades, bem como da noção de fibrado tangente, conexão afim, torsão e curvatura. Partindo das variedades abstratas, pretende chegar à geometria riemanniana das subvariedades isometricamente imersas, passando por alguns elementos de topologia das variedades e pelas variedades com bordo. O objetivo é levar ao conhecimento real da parte teórica mais importante da Geometria Riemanniana e das suas aplicações clássicas, como seja o estudo das superfícies em R3, e ao reconhecimento de campos de estudo e investigação conexos.
Pretende-se o enriquecimento dos conhecimentos matemáticos dos alunos com as ideias principais da geometria do último século, que perduram e se têm renovado em questões recentes, que os alunos poderão querer continuar a explorar e.g. em programa de doutoramento.

Conteúdos Programáticos

- Variedades: espaço tangente, campos vetoriais, parêntesis de Lie, imersões e mergulhos, orientação, grupos de Lie, topologia das variedades, variedades com bordo.
- Variedades riemannianas: métrica, isometria, subvariedade riemanniana, conexões afins, torsão, conexão de Levi-Civita; geodésicas e cartas normais; completude e teorema de Hopf-Rinow.
- Curvatura: tensor de curvatura, curvatura seccional, tensor de Ricci, curvatura escalar; espaços de curvatura constante; campos de Jacobi; teoremas de Myers e de Hadamard.
- Estudo das superfícies: aplicação de Gauss, primeira e segunda forma fundamental, curvaturas média e de Gauss, teorema de Gauss.

Métodos de Ensino

Este curso pauta-se pelo desenvolvimento natural que segue da Geometria Diferencial. Admitindo que alguns alunos não detenham essa base, o docente deve orientar-se pela média dos conhecimentos, iniciando o curso bem no tema das variedades, para os levar até onde mais longe possa no percurso do programa. Se os alunos tiverem conhecimento prévio da Geometria Diferencial, o docente pode iniciar o curso no capítulo Métrica riemanniana, cumprir o programa e aprofundá-lo se necessário.
O método de ensino será clássico, de exposição teórica e resolução de problemas propostos.
Avaliação contínua, por duas a três frequências ou apresentações orais de temas a acordar com o docente, realizados preferencialmente nas próprias aulas, totalizando 80% da classificação (número de apresentações a definir pelo docente responsável, tendo em conta as características dos alunos e o plano de aulas) e trabalhos de casa, totalizando 20%; ou por exame final.

Bibliografia

- S.Gallot, D.Hulin, J. Lafontaine (2004), Riemannian Geometry, Universitext, 3rd ed., Springer.
- M.Berger and B.Gostiaux (1988). Differential geometry: manifolds, curves and surfaces, Springer, Berlin.
- W.Boothby (2002). An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press, New York.
- L.C.Conlon (2001). Differentiable Manifolds, Birkhäuser, Boston.