2024
Cálculo das Variações
Nome: Cálculo das Variações
Cód.: MAT11701D
6 ECTS
Duração: 15 semanas/156 horas
Área Científica:
Matemática
Língua(s) de lecionação: Português
Língua(s) de apoio tutorial: Português
Objetivos de Desenvolvimento Sustentável
Objetivos de Aprendizagem
Objectivos:
Formação básica em teoria abstracta do Cálculo das Variações, com vista ao desenvolvimento futuro, quer
dos conhecimentos nesta área, quer da utilização
noutras áreas da Matemática ou da Física ou da Economia.
Competências:
- Desenvolver pensamento abstracto para resolver, de forma mais simples e com maior generalidade,
problemas concretos de outras áreas, por exemplo Economia, Engenharia, Biologia, Mecânica, Óptica, etc.
- Capacidade de abstracção, intuição criativa, construção de modelos e espírito crítico.
- Capacidade de exposição oral e escrita dos resultados conseguidos.
Formação básica em teoria abstracta do Cálculo das Variações, com vista ao desenvolvimento futuro, quer
dos conhecimentos nesta área, quer da utilização
noutras áreas da Matemática ou da Física ou da Economia.
Competências:
- Desenvolver pensamento abstracto para resolver, de forma mais simples e com maior generalidade,
problemas concretos de outras áreas, por exemplo Economia, Engenharia, Biologia, Mecânica, Óptica, etc.
- Capacidade de abstracção, intuição criativa, construção de modelos e espírito crítico.
- Capacidade de exposição oral e escrita dos resultados conseguidos.
Conteúdos Programáticos
1. Introdução.
2. Problemas clássicos e métodos indirectos.
2.1. A equação de Euler-Lagrange
2.2.Condições suficientes para garantir a existência de minimizantes.
3. O método directo para integrais simples.
3.1. Espaços de Sobolev (dim.1).
3.2. Funções absolutamente contínuas.
3.3. A semicontinuidade inferior implica a convexidade.
3.4. A convexidade implica a semicontinuidade inferior.
3.5 Existência de minimizantes em espaços de Sobolev.
3.6. Introdução à teoria da regularidade dos minimizantes.
3.7. A equação de DuBois-Reymond sob hipóteses minimais.
3.8. Integrais com crescimento linear e homogeneidade positiva.
3.9. Integrais paramétricos.
4. Integrais vectoriais: Q-, P-, R-convexidade.
4.1. A equação de Euler-Lagrange.
4.2. A semicontinuidade para campos escalares implica a convexidade.
4.3. A convexidade tipo Q, P e R.
4.4. A Q-convexidade implica a R-convexidade.
4.5 A semicontinuidade inferior implica a Q-convexidade.
2. Problemas clássicos e métodos indirectos.
2.1. A equação de Euler-Lagrange
2.2.Condições suficientes para garantir a existência de minimizantes.
3. O método directo para integrais simples.
3.1. Espaços de Sobolev (dim.1).
3.2. Funções absolutamente contínuas.
3.3. A semicontinuidade inferior implica a convexidade.
3.4. A convexidade implica a semicontinuidade inferior.
3.5 Existência de minimizantes em espaços de Sobolev.
3.6. Introdução à teoria da regularidade dos minimizantes.
3.7. A equação de DuBois-Reymond sob hipóteses minimais.
3.8. Integrais com crescimento linear e homogeneidade positiva.
3.9. Integrais paramétricos.
4. Integrais vectoriais: Q-, P-, R-convexidade.
4.1. A equação de Euler-Lagrange.
4.2. A semicontinuidade para campos escalares implica a convexidade.
4.3. A convexidade tipo Q, P e R.
4.4. A Q-convexidade implica a R-convexidade.
4.5 A semicontinuidade inferior implica a Q-convexidade.
Métodos de Ensino
Metodologias de ensino:
Exposição estruturada, exemplificação com ênfase para as aplicações, resolução de exercícios.
Estimular a iniciativa dos alunos, de modo a que o decorrer das aulas seja centrado essencialmente na
actividade dos alunos, guiados pelo docente; em vez de na actividade do docente, copiado pelos alunos.
Nomeadamente no que respeita a apresentação de dúvidas e/ou sugestões de aplicação e/ou exposição
dos conteúdos, a resolução de exercícios, a participação em discussões, etc.
Avaliação: Um teste escrito e um trabalho escrito elaborado pelo aluno; ou um exame final escrito.
Exposição estruturada, exemplificação com ênfase para as aplicações, resolução de exercícios.
Estimular a iniciativa dos alunos, de modo a que o decorrer das aulas seja centrado essencialmente na
actividade dos alunos, guiados pelo docente; em vez de na actividade do docente, copiado pelos alunos.
Nomeadamente no que respeita a apresentação de dúvidas e/ou sugestões de aplicação e/ou exposição
dos conteúdos, a resolução de exercícios, a participação em discussões, etc.
Avaliação: Um teste escrito e um trabalho escrito elaborado pelo aluno; ou um exame final escrito.
Bibliografia
G Buttazzo, M Giaquinta, S Hildebrandt, One dimensional variational problems, Clarendon Press 1998
L Cesari, Optimization: theory and applications, Springer 1984
J Jost, X Li-Jost, Calculus of variations, Cambridge University Press 1998
G Dal Maso, Calcollo delle variazioni, apontamentos de diversos cursos na SISSA, em 1985/1997
H Goldstine, A history of the calculus of variations from the 17th through the 19th century, Springer 1980
A Ornelas, Apontamentos de cálculo das variações, U. Évora 2003
I Ekeland, R Temam, Convex Analysis and Variational Problems, SIAM 1999
L Cesari, Optimization: theory and applications, Springer 1984
J Jost, X Li-Jost, Calculus of variations, Cambridge University Press 1998
G Dal Maso, Calcollo delle variazioni, apontamentos de diversos cursos na SISSA, em 1985/1997
H Goldstine, A history of the calculus of variations from the 17th through the 19th century, Springer 1980
A Ornelas, Apontamentos de cálculo das variações, U. Évora 2003
I Ekeland, R Temam, Convex Analysis and Variational Problems, SIAM 1999
