2023
Tópicos de Geometria Diferencial e Topologia
Nome: Tópicos de Geometria Diferencial e Topologia
Cód.: MAT11700D
6 ECTS
Duração: 15 semanas/156 horas
Área Científica:
Matemática
Língua(s) de lecionação: Português
Língua(s) de apoio tutorial: Português
Objetivos de Desenvolvimento Sustentável
Objetivos de Aprendizagem
Abstracção, raciocínio lógico-dedutivo, formalização e rigor matemático, etc.
Dar início ao estudo da Geometria Diferencial, promovendo interesses próprios para a investigação em Geometria Riemanniana e em Topologia das variedades diferenciáveis, dos alunos que tenham boas bases teóricas e gosto por esta área da matemática.
Dar início ao estudo da Geometria Diferencial, promovendo interesses próprios para a investigação em Geometria Riemanniana e em Topologia das variedades diferenciáveis, dos alunos que tenham boas bases teóricas e gosto por esta área da matemática.
Conteúdos Programáticos
Parte 1 - Espaços métricos e espaços topológicos. Grupo fundamental de um espaço topológico. Espaços de cobertura, espaço de cobertura universal. Exemplos e aplicações.
Parte 2 - Variedades diferenciáveis e o espaço tangente. Campos vectoriais e orientação. Variedades com bordo e orientação induzida no bordo. Transformações entre variedades. Breves noções de subvariedades. Formas diferenciais, derivada exterior. Cohomologia de deRham; lema de Poincaré. Integração em variedades e o teorema de Stokes.
Parte 3 - Variedades riemannianas e o volume. Geodesia e transporte paralelo numa variedade riemanniana. Curvatura riemanniana e grupo de holonomia. Teoria dos fibrados vectoriais. Fibrados naturais sobre uma variedade.
Parte 4 - Mais noções topológicas; característica de Euler. Grupos e álgebras de Lie. Acções de grupos em variedades. Homologia singular.
Parte 2 - Variedades diferenciáveis e o espaço tangente. Campos vectoriais e orientação. Variedades com bordo e orientação induzida no bordo. Transformações entre variedades. Breves noções de subvariedades. Formas diferenciais, derivada exterior. Cohomologia de deRham; lema de Poincaré. Integração em variedades e o teorema de Stokes.
Parte 3 - Variedades riemannianas e o volume. Geodesia e transporte paralelo numa variedade riemanniana. Curvatura riemanniana e grupo de holonomia. Teoria dos fibrados vectoriais. Fibrados naturais sobre uma variedade.
Parte 4 - Mais noções topológicas; característica de Euler. Grupos e álgebras de Lie. Acções de grupos em variedades. Homologia singular.
Métodos de Ensino
Exposição estruturada, exemplos, resolução de exercícios, trabalhos para casa. Avaliação pelo trabalho final ou pelos trabalhos de casa. Exame se requerido.
Bibliografia
Geometry and Topology (G. E. Bredon)
Geometry of manifols (R. Bishop e R. Crittenden)
Foundations of Differential Geometry (S. Kobayashi e K. Nomizu)
Einstein Manifolds (A. Besse)
Riemannian Geometry and Complex Analysis (J. Jost)
Characteristic classes (Milnor and Stasheff)
Geometry of manifols (R. Bishop e R. Crittenden)
Foundations of Differential Geometry (S. Kobayashi e K. Nomizu)
Einstein Manifolds (A. Besse)
Riemannian Geometry and Complex Analysis (J. Jost)
Characteristic classes (Milnor and Stasheff)
