2023
Tópicos de Análise Funcional
Nome: Tópicos de Análise Funcional
Cód.: MAT14364M
6 ECTS
Duração: 15 semanas/156 horas
Área Científica:
Matemática
Língua(s) de lecionação: Português
Língua(s) de apoio tutorial: Português, Inglês
Regime de Frequência: Presencial
Apresentação
Análise Funcional é um ramo de Matemática que se originou da Análise clássica e trata do estudo de espaços de funções de dimensão infinita. A UC pretende aprofundar e consolidar os conhecimentos de Análise Funcional e mostrar aplicações destes métodos a várias áreas da Análise.
Objetivos de Desenvolvimento Sustentável
Objetivos de Aprendizagem
Objetivos:
- Aprofundar os conhecimentos de Análise Funcional e de métodos analíticos.
- Adquirir competências para aplicar estes métodos a várias áreas da Análise.
Competências:
- Desenvolver pensamento abstracto para resolver, de forma mais simples e com maior generalidade, problemas concretos em Análise.
- Capacidade de abstracção, intuição criativa, construção de modelos e espírito crítico.
- Capacidade de exposição oral e escrita dos resultados conseguidos.
- Aprofundar os conhecimentos de Análise Funcional e de métodos analíticos.
- Adquirir competências para aplicar estes métodos a várias áreas da Análise.
Competências:
- Desenvolver pensamento abstracto para resolver, de forma mais simples e com maior generalidade, problemas concretos em Análise.
- Capacidade de abstracção, intuição criativa, construção de modelos e espírito crítico.
- Capacidade de exposição oral e escrita dos resultados conseguidos.
Conteúdos Programáticos
- Espaços métricos. Convergência, Sucessão de Cauchy, Completude. Exemplos e demonstrações de completude. Exemplos de espaços métricos incompletos. Completude de espaços.
- Espaços normados. Espaços de Banach. Espaço vetorial. Espaço normado. Espaço de Banach. Espaços de dimensão finita e subespaços. Compacidade e dimensão finita. Operadores lineares. Funcionais lineares. Espaços normados de operadores. Espaço dual.
- Espaços de Hilbert. Espaço com produto interno. Espaço de Hilbert. Complementos ortogonais e somas diretas. Conjuntos e sucessões ortonormais. Séries e conjuntos ortonormais. Funcionais em espaços de Hilbert.
- Teoremas em espaços de Banach. Lema de Zorn. Teorema de Hann-Banach. Teorema da limitação uniforme. Convergências forte e fraca.
- Teoria do ponto fixo de Banach. Teorema de ponto fixo de Banach. Teorema de Banach e Equações Diferenciais. Teorema de Banach e Equações Integrais.
- Espaços normados. Espaços de Banach. Espaço vetorial. Espaço normado. Espaço de Banach. Espaços de dimensão finita e subespaços. Compacidade e dimensão finita. Operadores lineares. Funcionais lineares. Espaços normados de operadores. Espaço dual.
- Espaços de Hilbert. Espaço com produto interno. Espaço de Hilbert. Complementos ortogonais e somas diretas. Conjuntos e sucessões ortonormais. Séries e conjuntos ortonormais. Funcionais em espaços de Hilbert.
- Teoremas em espaços de Banach. Lema de Zorn. Teorema de Hann-Banach. Teorema da limitação uniforme. Convergências forte e fraca.
- Teoria do ponto fixo de Banach. Teorema de ponto fixo de Banach. Teorema de Banach e Equações Diferenciais. Teorema de Banach e Equações Integrais.
Métodos de Ensino
As aulas são teórico-práticas, sendo utilizada uma metodologia estruturada para a apresentação dos conteúdos programáticos, apoiada em materiais colocados à disposição dos alunos, e na exemplificação de aplicações dos principais resultados.
O estudante pode escolher uma das seguintes formas de avaliação:
1) Avaliação continua composta pela apresentação de quatro trabalhos em que sejam abordados temas ou problemas relacionados com o conteúdo programático. Cada trabalho tem um peso de 25% para a classificação final;
2) Avaliação por exame, com possibilidade de consulta a material produzido pelo próprio aluno.
O estudante pode escolher uma das seguintes formas de avaliação:
1) Avaliação continua composta pela apresentação de quatro trabalhos em que sejam abordados temas ou problemas relacionados com o conteúdo programático. Cada trabalho tem um peso de 25% para a classificação final;
2) Avaliação por exame, com possibilidade de consulta a material produzido pelo próprio aluno.
Bibliografia
- F. Minhós (2017). Tópicos de Análise Funcional.
- E. Kreyzig (1978). Introductory Functional Analysis with Applications, John Wiley & Sons.
- D.R.Smart (1980). Fixed Point Theorems, Cambridge Tracts in Mathematics, 66, Cambridge University Press.
- E.Zeidler (1986). Nonlinear Functional Analysis and Its Applications, Springer, New York.
- E. Kreyzig (1978). Introductory Functional Analysis with Applications, John Wiley & Sons.
- D.R.Smart (1980). Fixed Point Theorems, Cambridge Tracts in Mathematics, 66, Cambridge University Press.
- E.Zeidler (1986). Nonlinear Functional Analysis and Its Applications, Springer, New York.
Equipa Docente
- Luís Manuel Balsa Bicho [responsável]
Certificações
