Cálculo Financeiro Avançado

Nome: Cálculo Financeiro Avançado
Cód.: MAT10217M
6 ECTS
Duração: 15 semanas/156 horas
Área Científica: Matemática

Língua(s) de lecionação: Português
Língua(s) de apoio tutorial: Português

Objetivos de Desenvolvimento Sustentável

Objetivos de Aprendizagem

Objetivos de aprendizagem:
Obter um sólido conhecimento dos processos estocásticos, em particular sobre martingalas, equações diferenciais estocásticas e discretizações. Saber aplicar os conhecimentos teóricos adquiridos às aplicações financeiras.

Competências a adquirir pelo estudante:
Pretende-se que ao terminarem a unidade curricular os alunos estejam aptos aplicar os conceitos das equações diferenciais estocásticas para aplicação à modelação de dados reais. Além disso pretende-se que saibam aplicar os conceitos financeiros adquiridos, nomeadamente a aplicação da fórmula de Black-Scholes para o cálculo de opções europeias e americanas de compra e de venda e a outros ativos financeiros.

Conteúdos Programáticos

Módulo1: Introdução às Equações Diferenciais Estocásticas e Aplicações:
Processo de Wiener e processos de difusão
Martingalas, processos adaptados.
Integrais estocásticos, esboço da construção do integral de Itô e uso do teorema de Itô.
Teoremas de existência e unicidade para equações diferenciais estocásticas.
Soluções fortes e fracas.
Fórmula de Feynman-Kac.

Módulo2: Aplicações Financeiras de Equações Diferenciais Estocásticas:
Modelo de Cox-Ross-Rubinstein. Opções europeias e americanas de compra e de venda. Generalização da metodologia a vários activos financeiros.
Enunciado e interpretação do teorema de Girsanov, mudança para a probabilidade risco-neutro.
Obtenção da fórmula de Black-Scholes
Modelo de Black-Scholes na bolsa, volatilidade implícita.

Métodos de Ensino

Metodologias de ensino:
Exposição estruturada da análise estocástica, utilizando modelos como guia.
Ilustração dos conceitos e raciocínios da teoria por meio de exemplos concretos.
Processamento através de exercícios e de aplicações.
Verificação do nível da aquisição da matéria durante o período letivo por meio de perguntas orientadas.
Avaliação:
Avaliação contínua - Avaliação por lista de exercícios para entrega (50%) e projeto de aplicação (50%) usando dados reais ou estudo de simulação com recurso, por exemplo, ao software R.
Avaliação por exame - O aluno poderá optar pela avaliação por exame (70%) e projecto (30%)

Bibliografia

1. Arnold, L. (1974). Stochastic Differential Equations: Theory and Applications. Nova Iorque: Wiley.
2. Braumann, C.A. (2019). Introduction to Stochastic Differential Equations with Applications to Biology and Finance. Hoboken NJ: Wiley.
3. Nelson, E. (1987). Radically Elementary Probability Theory. Princeton, New Jersey: Princeton University Press.
4. Øksendal, B. (2013). Stochastic Differential Equations. An Introduction with Applications (6ª ed.). Nova Iorque: Springer.
5. van den Berg, I.P. (2001). Principles of Infinitesimal Stochastic and Financial Analysis. Singapore; River Edge, N.J.: World Scientific.