2024

Matemática I

Nome: Matemática I
Cód.: MAT11960L
6 ECTS
Duração: 15 semanas/156 horas
Área Científica: Matemática

Língua(s) de lecionação: Português
Língua(s) de apoio tutorial: Português

Objetivos de Desenvolvimento Sustentável

Objetivos de Aprendizagem

Os resultados de aprendizagem esperados na unidade curricular são:
• Adquirir noções básicas de Análise Matemática.
• Saber formular matematicamente um problema e identificar e utilizar as estratégias adequadas à sua resolução analítica.
• Demonstrar capacidades de análise, cálculo e raciocínio dedutivo.
• Desenvolver o raciocínio abstrato.
• Dominar os principais conceitos e ferramentas do cálculo diferencial e integral em IR e saber aplicá-los nos contextos das diversas unidades curriculares da especialidade que esta unidade curricular serve.

As competências desenvolvidas na unidade curricular são:
• Capacidade de compreender e utilizar a linguagem matemática.
• Capacidade de compreender e resolver problemas matemáticos.
• Capacidade de construção de modelos matemáticos.
• Capacidade de abstracção.
• Capacidade de intuição criativa e espírito crítico.
• Capacidade de expressão oral e escrita de resultados matemáticos.

Conteúdos Programáticos

1. Noções topológicas em IR
2. Cálculo diferencial em IR: Derivada num ponto e interpretação física. Regras de derivação. Teoremas de Rolle, Lagrange e Cauchy. Regras de L'Hôpital e Cauchy. Monotonia, concavidades e assímptotas.
3. Primitivação:Primitivas imediatas. Primitivação por partes e substituição. Primitivas de funções racionais.
4. Integração:Integral de Darboux e de Riemann. Propriedades do integral. Teorema fundamental do cálculo e fórmula da Barrow. Integração por partes e substituição.
5. Aplicações do cálculo integral: Áreas planas. Comprimento de uma linha. Volumes e áreas de superfícies laterais de sólidos de revolução.
6. Integrais impróprios:Critérios de convergência. Convergência absoluta e simples.
7. Séries numéricas: Séries geométricas e de Mengoli. Séries de termos não negativos. Séries alternadas. Convergência absoluta e simples.
8. Séries de potências:Definições.Séries de Taylor e Mac-Laurin.
9. EDO:EDO lineares homogéneas e não-homogéneas de ordem n.Aplicações

Métodos de Ensino

Aulas teóricas, com exposição dos conceitos e resultados, que são ilustrados com exemplos de aplicação.Aulas práticas, com resolução de exercícios, onde se aplicam os conceitos e resultados apresentados nas aulas teóricas.
É dado especial ênfase a problemas que interligam as ferramentas desenvolvidas com os conceitos estudados e são disponibilizados exercícios para um eficaz acompanhamento e cimentar dos conhecimentos.
A avaliação tem duas vertentes: contínua e por exame. A avaliação contínua, a realizar durante o período letivo, é constituída por várias frequências (50%/100%), e eventualmente outros elementos de avaliação a combinar com os alunos (50%/0%, respetivamente). A avaliação por exame é constituída por um exame global (100%), a realizar no período de época normal e/ou de recurso. É exigida a assistência a pelo menos 75% das aulas práticas lecionadas para a avaliação contínua e exame de época normal. Também pode exigir-se uma percentagem mínima de assistência às aulas teóricas

Bibliografia

1. Apostol, T., Cálculo, vols. I e II, Editora Reverté, 1999.
2. Azenha, A. and Jerónimo, M. A., Elementos de Cálculo Diferencial e Integral em IR e IR^n, McGraw-Hill, 2000.
3. Bartle, R. G. and Sherbert, D. R., Introduction to Real Analysis, 4th edition, Wiley, 2011.
4. Campos Ferreira, J., Introdução à Análise Matemática, 11.ª edição, Fundação Calouste Gulbenkian, 2011.
5. Demidovich, B., Problemas e Exercícios de Análise Matemática, Escolar Editora, 2010.
6. Figueira, M., Fundamentos de Análise Infinitesimal, 5.ª edição, Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, 2011.
7. Lages Lima, E., Curso de Análise, vol. 1, 14.ª edição, IMPA, 2017.
8. Piskounov, N., Cálculo Diferencial e Integral, vols. I e II, 18.ª edição, Lopes da Silva Editora, 2000.
9. Sarrico, C., Análise Matemática – Leituras e exercícios, 8.ª edição, Gradiva, 2017.
10. Stewart, J., Cálculo, vol. 1 e 2, 7.ª edição, Cengage Learning, 2014